Come determinare le condizioni di esistenza

FRAZIONI ALGEBRICHE – DEFINIZIONE

Una frazione algebrica è una struttura matematica che si esprime come un rapporto tra due polinomi.

In generale possiamo scriverla in questo modo:

Dove N(x) rappresenta il polinomio al numeratore, mentre D(x) il polinomio al denominatore.

ESEMPI DI FRAZIONI ALGEBRICHE

Esempi di frazione algebriche sono:

in cui sia il numeratore che il denominatore sono polinomi di primo grado.

dove il numeratore ha grado due, mentre il denominatore è di grado uno.

che presenta un polinomio di terzo grado al numeratore e un polinomio di secondo grado al denominatore.

CONDIZIONI DI ESITESTENZA

Una frazione algebrica esiste se e solo se il denominatore è diverso da zero.

Definiamo questa la condizione di esistenza delle frazioni algebriche.

Se ci pensate bene non ha senso dividere un numero per zero.

ESEMPI DI CONDIZIONI DI ESISTENZA

Facciamo qualche esempio di applicazione della condizione di esistenza su frazioni algebriche.

Cominciamo con una frazione algebrica molto semplice:

A questo punto andiamo ad imporre il denominatore diverso da zero.

Ovvero 

Ora prendiamo una frazione algebrica che presenta al denominatore un polinomio di grado due.

Esattamente come prima imponiamo il denominatore diverso da zero.

Scomponiamo la differenza di quadrati.

Ora imponiamo ogni fattore della scomposizione diverso da zero e risolviamo le due equazioni di primo grado.

Se preferite leggerlo come scritto a mano:

Vediamo ancora un esempio sempre più complicato di dominio di una frazione algebrica:

Imponiamo il denominatore diverso da zero

Si tratta come vedete di un polinomio di terzo grado.

Per scomporlo raccogliamo per prima cosa la x a fattor comune:

Dopodiché riconosciamo all’interno della parentesi un trinomio speciale di secondo grado con prodotto pari a +2 e somma -3.

La coppia di valori che ci restituisce questi valori è -2 e -1

Per questo la scomposizione finale diventa:

A questo punto imponiamo ognuno dei tre fattori di grado uno in x diverso da zero.

FRAZIONE RIDOTTA AI MINIMI TERMINI

Definiamo frazione ridotta ai minimi termini una frazione in cui non possiamo semplificare il numeratore e il denominatore.

Questo avviene perché nel numeratore e nel denominatore non vi sono fattori (polinomi) simili.

Quando questo si verifica diciamo che il numeratore e il denominatore sono primi tra di loro.

ESMPIO DI FRAZIONI RIDOTTE AI MINIMI TERMINI

Se consideriamo la seguente frazione algebrica

Notiamo subito che il numeratore e il denominatore sono polinomi di primo grado e che dunque non possiamo più scomporre.

La frazione presenta sia al sopra che al di sotto della linea di frazione fattori primi ovvero inscomponibili.

Dal momento che il numeratore e il denominatore della frazione sono diversi , sono primi tra di loro.

Attenzione a non confondere il concetto di fattori primi, con il concetto di fattori primi tra di loro riferito al numeratore e al denominatore di una frazione.

Consideriamo ad esempio la seguente frazione algebrica

Il denominatore e il denominatore sono chiaramente fattori non primi.

Il numeratore può essere scomposto dapprima raccogliendo la x a fattor comune e riconoscendo poi una differenza di quadrati:

Mentre il denominatore può essere visto come una differenza di quadrati

Se riscriviamo la frazione scomposta otteniamo:

Come si può notare il numeratore e il denominatore non presentano fattori primi in comune.

Per questo diciamo che sono primi tra di loro, e la frazione è ridotta ai minimi termini.

SEMPLIFICAZIONE DI UNA FRAZIONE ALGEBRICA

Un punto chiave  che riguarda le frazioni algebriche è la semplificazione.

Quando la scomposizione del numeratore e del denominatore possiede uno stesso  fattore allora possiamo “eliminare” questo fattore sia dal numeratore che dal denominatore.

Questa procedura si chiama semplificazione.

Il fattore o i fattori che sono stati “eliminati” sono il massimo comune divisore (MCD) tra il numeratore e il denominatore.

Al termine della semplificazione otteniamo una frazione ridotta ai minimi termini.

In questa frazione ridotta ai minimi termini diciamo che il numeratore e il denominatore sono primi tra di loro.

Facciamo un esempio di semplificazione e consideriamo la seguente frazione algebrica:

Scomponiamo ora il numeratore come una differenzia di quadrati

Successivamente possiamo rileggere il denominatore come un trinomio particolare:

Adesso riscriviamo per intero la frazione scomposta

Possiamo dunque semplificare il fattore comune (x+5) che si trova sa al numeratore che al denominatore:

Otteniamo in questo modo la frazione ridotta ai minimi termini.

OPERAZIONI CON LE FRAZIONI ALGEBRICHE

Le frazioni algebriche sono strutture matematiche esprimibili come rapporto tra due polinomi.

Esse funzionano esattamente come le frazioni numeriche e dunque possiamo effettuare le classiche operazioni con i numeri.

Tra queste troviamo la somma, la differenza, la moltiplicazione e la divisione.

Quando parliamo di somma e differenza possiamo riassumerlo con il termine somma algebrica.

SOMMA E DIFFERENZA TRA FRAZIONI ALGEBRICHE

Facciamo un primo esempio di somma algebrica  tra frazioni algebriche, esaminando un caso molto semplice.

Sommiamo al reciproco di un numero x il reciproco del suo numero successivo.

Quando facciamo una somma algebrica di frazioni dobbiamo individuare il minimo comune denominatore ovvero il minimo comune multiplo tra i denominatori.

Per farlo dovremmo scomporre tutti i denominatori.

In questo caso specifico abbiamo due denominatori che sono già fattori primi e sono diversi tra di loro.

Il minimo comune multiplo è pari perciò al loro prodotto semplice, ovvero:

Se preferite possiamo scriverla anche come:

Facciamo un secondo esempio di somma algebrica di frazioni, questa volta un po’ più complicato.

Consideriamo la seguente espressione:

Scomponiamo il primo e il secondo denominatore:

Il terzo denominatore non c’è bisogno di scomporlo dal momento che è già primo.

Facciamo ora il denominatore comune selezionando tutti i fattori primi presenti.

Al numeratore applichiamo la procedura vista prima e otteniamo.

Sviluppiamo i calcoli

Semplificando gli x quadratici otteniamo:

A questo punto la frazione algebrica che otteniamo è 

Possiamo dunque semplificare il fattore comune (x+1) tra il numeratore e il denominatore, ottenendo la frazione ridotta ai minimi termini:

MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE TRA FRAZIONI ALGEBRICHE

Tra le frazioni algebriche è possibili svolgere anche operazioni di moltiplicazioni e divisioni.

MOLTIPLICAZIONE TRA FRAZIONI ALGEBRICHE

Quando moltiplichiamo due o più frazioni algebriche prime tra di loro, otteniamo una nuova frazione in cui il numeratore è il prodotto dei numeratori e il denominatore è il prodotto dei denominatori.

Partiamo da un esempio semplice considerando la seguente moltiplicazione di frazioni:

Semplifichiamo ora il fattor comune x tra il numeratore della prima frazione e il denominatore della seconda, ottenendo:

A questo punto non ci resta che moltiplicatore i numeratori e i denominatori e otteniamo la frazione:

Frazione che non possiamo più semplificare.

Procediamo con un secondo esempio di moltiplicazione tra frazioni algebriche  un po’ più complesso rispetto a prima.

L’espressione che tentiamo di risolvere è la seguente:

Scomponiamo ora tutti i numerati e i denominatori presenti.

Il primo numeratore è una differenza di quadrati:

I due denominatori sono trinomi particolari:

Il secondo numeratore è un quadrato di binomio:

A questo punto riscriviamo il testo con tutte le frazioni scomposte:

Semplifichiamo i fattori comuni (x+1), (x+2) e (x-1), ottenendo:

DIVISIONE TRA FRAZIONI ALGEBRICHE

Occupiamoci ora della divisione tra frazioni algebriche.

Quando abbiamo una divisione tra frazioni algebriche trasformiamo la moltiplicazione in moltiplicazione (quindi il simbolo di ÷ in *) e ribaltiamo la seconda frazione.

Poi funziona esattamente come una moltiplicazione:

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